المتوسط المتحرك في السلسلة الزمنية r

تحتوي سلسلة الوقت والتنبؤ R على مرافق واسعة لتحليل بيانات السلاسل الزمنية. يصف هذا القسم إنشاء سلسلة زمنية، و ديكومبوستيون موسمي، والنمذجة مع النماذج الأسية و أريما، والتنبؤ مع حزمة التوقعات. إنشاء سلسلة زمنية تقوم الدالة تيسي () بتحويل متجه رقمي إلى كائن سلسلة زمنية R. الشكل هو تيسي (المتجه، بداية، نهاية، تردد) حيث بداية ونهاية هي أوقات الملاحظة الأولى والأخيرة والتردد هو عدد من الملاحظات في وحدة الزمن (1nual، 4quartly، 12monthly، الخ). حفظ متجه رقمي يحتوي على 72 ملاحظة شهرية من يناير 2009 إلى ديسمبر 2014 كسلسلة زمنية كائنات ميتس (ميفكتور، ستارتك (2009، 1)، إندك (2014، 12)، وتكرار 12) مجموعة من السلاسل الزمنية (يونيو 2014 إلى ديسمبر 2014) myts2 lt - ويندو (ميتس، ستارتك (2014، 6)، إندك (2014، 12)) مؤامرة سلسلة مؤامرة (ميتس) التحلل الموسمية يمكن تحليل سلسلة زمنية مع مكونات إضافية، الموسمية، وغير النظامية باستخدام ستل () وظيفة. لاحظ أن سلسلة مع الآثار المضاعفة يمكن أن تتحول في كثير من الأحيان إلى سلسلة مع تأثيرات إضافية من خلال تحويل السجل (أي نيوتس لوتغ (ميتس)). (ميتس، s. windowperiod) مؤامرة (تناسب) مؤامرات إضافية مونثلي (ميتس) مكتبة (توقعات) موسمية (ميتس) نماذج الأسية كل وظيفة هولتوينترس () في التثبيت الأساسي، و إيتس () وظيفة في حزمة التوقعات، يمكن استخدامها لتناسب النماذج الأسية. (ميتس، بيتافالس، غامافالس) ضعف الأسي - مستوى النماذج واتجاه الاتجاه لوت - هولتوينترس (ميتس، غامافالس) الثلاثي الأسي - مستوى النماذج، والاتجاه، والمكونات الموسمية تناسب lt - هولتوينترس (ميتس) التنبؤات (تناسب، 3)) نماذج أريما وظيفة أريما () يمكن استخدامها لتناسب الانحدار الذاتي المتكاملة تتحرك (التنبؤ) دقة (مناسبا) التنبؤ المقبل ثلاثة القيم المستقبلية مكتبة (توقعات) توقعات (مناسبا، 3) مؤامرة المتوسطات. وتشمل وظائف مفيدة أخرى: نسخة متخلفة من السلاسل الزمنية، وتحويل الظهر k السفن الرصد R مع الكثير من الوظائف المفيدة للسلاسل الزمنية، ولا سيما في حزمة احصائيات. ويكمل ذلك العديد من الحزم على الشبكة، وهي ملخصة بإيجاز أدناه. وهناك أيضا تداخل كبير بين الأدوات الخاصة بالمسلسلات الزمنية وتلك المتعلقة بمناظر مهمة الاقتصاد القياسي والمالية. الحزم في هذا الرأي يمكن أن تكون منظمة تقريبا في المواضيع التالية. إذا كنت تعتقد أن بعض الحزمة مفقودة من القائمة، واسمحوا لنا أن نعرف. بنية تحتية . يحتوي قاعدة R على بنية تحتية كبيرة لتمثيل وتحليل بيانات السلاسل الزمنية. الطبقة الأساسية هي كوتسكوت التي يمكن أن تمثل سلسلة زمنية متباعدة بانتظام (باستخدام الطوابع الزمنية الرقمية). وبالتالي، فمن بشكل خاص مناسبة تماما للبيانات السنوية والشهرية، ربع السنوية، الخ. وتحسب المتوسطات المتحركة بواسطة ما من التنبؤات. و رولمان من حديقة الحيوان. هذا الأخير يوفر أيضا وظيفة عامة رولابلي. جنبا إلى جنب مع وظائف محددة أخرى المتداول الإحصاءات. لفة يوفر وظائف موازية لحساب إحصاءات المتداول. الرسومات . يتم الحصول على المؤامرات سلسلة زمنية مع مؤامرة () تطبيقها على الكائنات تيسي. (جزئية) يتم تنفيذ قطع الترابط الذاتي في أكف () و باسف (). يتم توفير الإصدارات البديلة من قبل أكف () و باسف () في التوقعات. جنبا إلى جنب مع عرض مزيج باستخدام تسديسبلاي (). يوفر سد الرسومات البيانية الاعتماد أكثر عمومية، في حين يحسب دكوفتس ويحدد التباين المسافة وظائف الارتباط من السلاسل الزمنية. يتم الحصول على العروض الموسمية باستخدام الشهر () في احصائيات والموسم الموسم في التوقعات. واتس تنفذ التفاف حول الرسومات سلسلة الوقت. يوفر غزاس الرسومات ggplot2 لسلسلة تعديل موسميا والإحصاءات المتداول. ديغرافس يوفر واجهة إلى ديغرافس التفاعلية سلسلة الوقت مكتبة الرسوم البيانية. تتوقع قطع زرا الأجسام من حزمة التوقعات باستخدام ديغرافس. يتم توفير المؤامرات الأساسية من التوزيعات توقعات من قبل توقعات و فارس. يتم تنفيذ مؤامرات أكثر مرونة من أي توزيعات متتابعة في مروحة. فئة كوتسكوت يمكن التعامل فقط مع الطوابع الزمنية الرقمية، ولكن العديد من الطبقات المتاحة لتخزين المعلومات تيمديت والحوسبة معها. للحصول على لمحة عامة انظر R مكتب المساعدة: التاريخ والوقت فئات في R بواسطة غابور غروثنديك وتوماس بيتزولدت في R أخبار 4 (1). 29-32. دروس كوتيرمونكوت و كوتياركتركوت من حديقة الحيوان تسمح لحساب أكثر ملاءمة مع الملاحظات الشهرية والربع سنوية، على التوالي. فئة كوتداتيكوت من حزمة قاعدة هي الطبقة الأساسية للتعامل مع التواريخ في البيانات اليومية. يتم تخزين التواريخ داخليا على أنها عدد الأيام منذ 1970-01-01. توفر حزمة كرون دروسا للتواريخ (). ساعات () و داتيتيم (خلال اليوم) في كرون (). لا يوجد دعم للمناطق الزمنية والوقت الصيفي. داخليا، كائنات كوتكرونوت هي (كسور) أيام منذ 1970-01-01. فئات كوتوبسيكسكوت و كوتوسيكسلتكوت تنفيذ معيار بوسيكس للحصول على معلومات وقت (خلال النهار) وأيضا دعم المناطق الزمنية و التوقيت الصيفي. ومع ذلك، تتطلب حسابات المنطقة الزمنية بعض الرعاية وقد تعتمد على النظام. داخليا، الكائنات كوتوسيكسكوت هي عدد الثواني منذ 1970-01-01 00:00:00 غمت. حزمة لوبريديت يوفر وظائف تسهل بعض الحسابات بوسيكس القائم. يتم توفير كوتيميدياتكوت فئة في حزمة الوقت (سابقا: فكالندار). ويهدف إلى المعلومات المالية توقيت و يتعامل مع المناطق الزمنية و التوقيت الصيفي من خلال مفهوم جديد للمراكز المالية. داخليا، فإنه يخزن جميع المعلومات في كوتوسيكسكوت وتفعل كل الحسابات في غمت فقط. وظيفة التقويم، مثل بما في ذلك المعلومات حول عطلة نهاية الأسبوع والأعياد لمختلف البورصات، يتم تضمين أيضا. توفر حزمة تيس فئة كوتيكوت للحصول على معلومات توقيت. الطبقة كوتمونداتيكوت من حزمة مونديت يسهل الحوسبة مع التواريخ من حيث أشهر. وتشمل حزمة تمبديساغ طرائق للتقسيم الزمني والاستكمال الداخلي لسلسلة زمنية منخفضة التردد إلى سلسلة ترددية أعلى. كما يتم تقديم تصنيف السلاسل الزمنية بواسطة tsdisagg2. تيميبروجكتيون مقتطفات مكونات الوقت مفيدة من كائن التاريخ، مثل يوم من أيام الأسبوع، عطلة نهاية الأسبوع، عطلة، يوم من الشهر، الخ، ووضعها في إطار البيانات. كما ذكر أعلاه، كوتسكوت هو الطبقة الأساسية للمسلسلات الزمنية متباعدة بشكل منتظم باستخدام الطوابع الزمنية الرقمية. توفر حزمة حديقة الحيوان البنية التحتية لسلسلة زمنية منتظمة وغير منتظمة بشكل متبادل باستخدام الطبقات التعسفية للأختام الزمنية (أي السماح لجميع الطبقات من القسم السابق). وهي مصممة لتكون متسقة قدر الإمكان مع كوتسكوت. الإكراه من و كوتزوكوت متاح لجميع الفئات الأخرى المذكورة في هذا القسم. ويستند الحزمة شتس على حديقة الحيوان ويوفر معالجة موحدة ل رس فئات زمنية مختلفة على أساس الوقت. حزم مختلفة تنفيذ سلسلة زمنية غير النظامية على أساس الطوابع الزمنية كوتوسيكسكوت، المقصود خصوصا للتطبيقات المالية. وتشمل هذه كوتيرتسكوت من تسريز. و كوتفسكوت من فتس. فئة كوتيمزريسكوت في تيمسريز (سابقا: فسيريز) بتنفيذ سلسلة زمنية مع الطوابع الزمنية كوتيمداتيكوت. الطبقة كوتيسكوت في تيس تنفذ سلسلة زمنية مع الطوابع الوقت كوتيكوت. يحتوي الإطار تفريم على البنية التحتية لتحديد الأطر الزمنية في أشكال مختلفة. التنبؤ والنمذجة أحادية المتغيرات توفر حزمة التوقعات فئة وطرق للتنبؤات السلاسل الزمنية أحادية المتغير، وتوفر العديد من الوظائف تنفيذ نماذج التنبؤ المختلفة بما في ذلك جميع تلك الموجودة في حزمة احصائيات. تجانس الأسي . هولتوينترس () في احصائيات يوفر بعض النماذج الأساسية مع التحسين الجزئي، إتس () من حزمة توقعات توفر مجموعة أكبر من النماذج والمرافق مع التحسين الكامل. والروبوتات يوفر بديلا قويا ل إيتس () وظيفة. السلس تنفذ بعض التعميمات من الأسس تمهيد. تجمع حزمة مابا نماذج التمهيد الأسي على مستويات مختلفة من التجميع الزمني لتحسين دقة التنبؤ. يتم تنفيذ طريقة ثيتا في الدالة ثيتاف من حزمة التوقعات. يتم توفير بديل وتوسيع نطاق التنفيذ في فوريكثيتا. نماذج الانحدار الذاتي. أر () إن ستاتس (ويث موديل سيلكتيون) و فيتار لنماذج أر الفرعية. نماذج أريما. أريما () في احصائيات هي الوظيفة الأساسية ل أريما، ساريما، أريماكس، ونماذج أريما فرعية. يتم تعزيزه في حزمة التنبؤ عن طريق وظيفة أريما () جنبا إلى جنب مع auto. arima () لاختيار النظام التلقائي. أرما () في حزمة تسريز يوفر خوارزميات مختلفة ل أرما ونماذج أرما فرعية. فيتارما تنفذ خوارزمية مل سريعة لنماذج أرما. حزمة غساريما يحتوي على وظائف لمحاكاة ساريما الوقت سلسلة المعمم. حزمة mar1s يعالج المضاعفات أر (1) مع العمليات الموسمية. يوفر تستوتوريال البرنامج التعليمي التفاعلي لنمذجة بوكس ​​جينكينز. وتقدم تسبي فواصل التنبؤ المحسنة ل أريما ونماذج السلاسل الزمنية الهيكلية. نماذج أرما الدورية. الكمثرى وقطع الغيار لنماذج سلسلة الانحدار الذاتي الدوري، و بيرارما لنمذجة أرما الدورية وغيرها من الإجراءات لتحليل الدوريات الدورية الدورية. نماذج أرفيما. يتم توفير بعض المرافق لكسر نماذج أرفيما مختلفة في حزمة فراسديف. حزمة أرفيما لديها مرافق أكثر تقدما والعامة لنماذج أرفيما و أريما، بما في ذلك نماذج الانحدار الديناميكي (نقل وظيفة). أرمافيت () من حزمة فارما هو واجهة لنماذج أريما و أرفيما. ويتم التعامل مع الضوضاء الغوسية الكسرية والنماذج البسيطة للمسلسلات الزمنية للتضاؤل ​​القطعي في حزمة فغن. يتم توفير نماذج وظيفة نقل من قبل وظيفة أريماكس في حزمة تسا، وظيفة أرفيما في حزمة أرفيما. كشف خارجي بعد نهج تشن ليو يتم توفيرها من قبل تسوتليرس. يتم تنفيذ النماذج الهيكلية في ستروكتس () في احصائيات، وفي ستسم و stsm. class. كفكسدز يوفر تنفيذ ساذجة من مرشح كالمان و سموثرز لنماذج الفضاء الدولة أحادية المتغير. يتم تنفيذ نماذج سلسلة الوقت الهيكلية بايزي في بستس يمكن التعامل مع سلسلة زمنية غير غاوسية مع نماذج الفضاء حالة غلارما عبر غلارما. واستخدام نماذج نقاط الانحدار الذاتي المعمم في حزمة غاس. يتم تطبيق نماذج الانحدار التلقائي المشروط باستخدام أساليب مونتي كارلو ليكليهود في مكلكار. نماذج غارتش. غارتش () من سلسلة يناسب نماذج غارتش الأساسية. يتم تقديم العديد من الاختلافات على نماذج غارتش من قبل روجارتش. وتشمل حزم غارتش أحادية المتغير الأخرى فغارتش التي تطبق نماذج أريما مع فئة واسعة من الابتكارات غارتش. هناك العديد من حزم غارتش الموضحة في عرض المهمة المالية. يتم التعامل مع نماذج التقلب العشوائي من قبل ستوشفول في إطار بايزي. يتم التعامل مع عدد نماذج السلاسل الزمنية في حزم تسكونت و أكب. يوفر زيم لنماذج تضخم صفر لسلسلة زمنية العد. تسينترميتنت تنفذ نماذج مختلفة لتحليل والتنبؤ متقطعة سلسلة الطلب الوقت. يمكن أن تكون على غرار سلسلة رقابة باستخدام سنتا و كاركس. يتم توفير الاختبارات بورتمانتيو عبر Box. test () في حزمة احصائيات. وتعطى اختبارات إضافية من قبل بورتس و ويتدورتبتيست. يتم توفير الكشف عن نقطة التغيير في ستروشانج (باستخدام نماذج الانحدار الخطي)، في الاتجاه (باستخدام الاختبارات غير الصفية)، وفي وبستس (باستخدام التجزئة الثنائية البرية). توفر حزمة تشانجبوانت العديد من أساليب تارجيتبوانت شعبية، و إيك لا الكشف عن تغيير نقطة غير متجانسة لسلسلة أحادية المتغيرات ومتعددة المتغيرات. يتم توفير الكشف عن نقطة التغيير عبر الإنترنت للسلاسل الزمنية أحادية المتغير ومتعددة المتغيرات عبر الإنترنت كبد. يستخدم إنسبكتشانجيبوانت إسقاط متفرق لتقدير نقاط التغيير في سلسلة زمنية عالية الأبعاد. يتم توفير احتساب السلاسل الزمنية من خلال حزمة إمبوتيتس. تتوفر بعض المرافق المحدودة باستخدام na. interp () من حزمة التوقعات. ويمكن الجمع بين التنبؤات باستخدام فوريكاستكومبيناتيونس الذي يدعم أكثر الطرق استخداما للجمع بين التوقعات. توقعات يوفر هبريد وظائف لتنبؤات المجموعات، والجمع بين النهج من حزمة التوقعات. جيومكومب يوفر إيجنفكتور القائم (هندسية) أساليب الجمع المتوقع، فضلا عن النهج الأخرى. الأوبرا لديها مرافق للتنبؤات على الانترنت على أساس مجموعات من التوقعات المقدمة من قبل المستخدم. ويقدم تقييم التنبؤات في دقتها () من التنبؤات. تقييم التنبؤ التوزيع باستخدام قواعد التهديف هو متاح في سكورينغرولز المتنوعة. لتسا يحتوي على الأساليب لتحليل سلسلة الوقت الخطية، تيمساك لتحليل سلسلة زمنية والسيطرة، و تبوغس لسلسلة الوقت نماذج بوج. ويتم توفير تقدير الكثافة الطيفية بواسطة الطيف () في حزمة الإحصائيات، بما في ذلك تقديرات الفترات الزمنية وتقديرات الفترات الزمنية وتقارير أر. الاستدلال الطيفي بايزي يتم توفيرها من قبل بسب. كوانتسبك يتضمن طرق لحساب ورسم لابلاس بيريودوغرامز لسلسلة زمنية أحادية المتغير. يتم حساب لومب-سكارجل بيريودوغرام لسلسلة زمنية عينات متفاوتة من قبل لومب. الاستخدامات الطيفية فورييه وهيلبرت يحول للتصفية الطيفية. وتنتج بسد تقديرات كثافة طيفية تكيفية. كزا يوفر كولموغوروف-زوربينكو مرشحات التكيف بما في ذلك الكشف عن كسر، التحليل الطيفي، المويجات و كز تحويل فورييه. كما يوفر مولتيتابر بعض أدوات التحليل الطيفي متعدد الفصول. أساليب المويجة. وتشمل حزمة الموجات حساب مرشحات المويجات، وتحويل المويجات والتحليلات مولترسولوتيون. يتم إعطاء أساليب المويجات لتحليل السلاسل الزمنية على أساس بيرسيفال ووالدن (2000) في ومتسا. يوفر وافيليتكومب بعض الأدوات لتحليل المويجات من المتغيرات أحادية المتغير و ثنائي المتغيرات بما في ذلك عبر الموجات، فرق الطور و سيغنيفيكانسك الاختبارات. ويمكن استخدام بيوافيليت لرسم وحساب أطياف المويجات، أطياف عبر المويجات، وتماسك المويجات من السلاسل الزمنية غير ثابتة. كما يشمل وظائف لتجميع السلاسل الزمنية على أساس التشابه (ديس) في طيفها. يتم توفير اختبارات الضوضاء البيضاء باستخدام الموجات من قبل هونتيست. طرق المويجة أخرى يمكن العثور عليها في حزم الدماغ. RWT. waveslim. وافيثريش و مفكوت. يتم تنفيذ الانحدار متناسق باستخدام مصطلحات فورييه في هارمونيك رجرسيون. توفر حزمة التوقعات أيضا بعض مرافق الانحدار التوافقي بسيطة عن طريق وظيفة فورييه. التحلل وتصفية مرشحات وتجانس. عامل تصفية () في احصائيات يوفر الانحدار الذاتي والانتقال المتوسط ​​الترشيح الخطي من سلاسل زمنية متعددة أحادية المتغير. توفر حزمة روبفيلتر عدة مرشحات متسلسلة زمنية قوية، في حين يتضمن مفيلتر مرشحات سلاسل زمنية متنوعة مفيدة لتلطيف واستخراج مكونات الاتجاه والدورة. السلس () من حزمة احصائيات يحسب توكيس تشغيل سموثرز متوسط، 3RS3R، 3RSS، 3R، الخ سليكتس يحسب طريقة 4253H مرتين التنعيم. تفكيك . ويناقش التحلل الموسمية أدناه. يتم توفير التحلل القائم على الانحدار الذاتي من قبل أرديك. يستخدم رماف مرشحا متوسط ​​الحركة المكررة للتحلل. يتم تنفيذ تحليل الطيف المفرد في رسا والطيفية. يتم توفير تحليل الوضع التجريبي (إمد) والتحليل الطيفي هيلبرت من قبل إمد. تتوفر أدوات إضافية، بما في ذلك إمد فرقة، في هت. تنفيذ بديل من إمد فرقة ومتغيره الكامل متوفرة في رليبيمد. التحلل الموسمية. توفر حزمة احصائيات التحلل الكلاسيكي في تتحلل (). و ستل التحلل في ستل (). التحلل المعزز ستل متاح في ستلبلوس. يوفر ستر التحلل الموسمية الاتجاه على أساس الانحدار. يوفر X12 المجمع لثنائيات X12 التي يجب تثبيتها أولا. يوفر x12GUI واجهة المستخدم الرسومية ل x12. يتم توفير الثنائيات X-13-أريما-مقاعد في حزمة x13binary، مع الموسمية توفير واجهة R والموسمية توفر واجهة المستخدم الرسومية. تحليل الموسمية. توفر حزمة بفست أساليب للكشف عن وتوصيف التغيرات المفاجئة داخل الاتجاه والمكونات الموسمية التي تم الحصول عليها من التحلل. نبست يوفر تعميم اختبار هيويتس الموسمية. الموسم. التحليل الموسمي للبيانات الصحية بما في ذلك نماذج الانحدار، والطبقة الزمنية عبر كروسوفر، وظائف التآمر والفحوصات المتبقية. البحار. التحليل الموسمية والرسومات، وخاصة بالنسبة لعلم المناخ. deseasonalize. الأمثل ديسيسوناليزاشيون للسلاسل الزمنية الجيوفيزيائية باستخدام أر المناسب. ستاتيوناريتي، جذور الوحدة، و كوينتيغراتيون ستاتيوناريتي وجذور الوحدة. يوفر تساريز مختلف ستاتيوناريتي وحدة الجذر الاختبارات بما في ذلك زيادة ديكي فولر، فيليبس بيرون، و كبس. أما التطبيقات البديلة لاختبارات أدف و كبس فهي في حزمة أوركا، والتي تتضمن أيضا طرقا أخرى مثل اختبارات إليوت-روثنبرغ-ستوك و شميت-فيليبس و زيفوت-أندروز. توفر حزمة فونيتروتس أيضا اختبار ماكينون، في حين يوفر أوروت الاختبارات الجذر وحدة موسمية. يوفر كادفتيست تطبيقات كل من أدف القياسية واختبار أدف المتضاعفة (كادف). المحليات المحلية. لوكيتس يوفر اختبارا من المحليات المحلية ويحسب أوتوكوفاريانس المترجمة. يتم توفير تحديد تكلفة السلسلة الزمنية من قبل كوستات. ولستس وظائف لتحليل السلاسل الزمنية الثابتة محليا. يتم تنفيذ نماذج المويجات الثابتة محليا للسلاسل الزمنية غير المستقرة في وافيثريش (بما في ذلك التقدير، والتآمر، والمحاكاة وظائف للأطياف متغيرة الوقت). التكامل المشترك. يتم تنفيذ طريقة إنغل-غرانجر من خطوتين مع اختبار التكامل المشترك فيليبس-أولياريس في سلسلة و أوركا. هذا الأخير يحتوي على وظيفة إضافية لتتبع جوهانسن واختبارات لامدا ماكس. تسدين يوفر اختبار جوهانزنس و إيكبيك في وقت واحد الاختيار تأخر الترتيب. يوفر كومونترند أدوات لاستخراج ورسم الاتجاهات المشتركة من نظام التكامل المشترك. يتم تنفيذ تقدير المعلمة والاستدلال في الانحدار المشترك في كوانترغ. تحليل سلسلة الوقت غير الخطية الانحدار الذاتي غير الخطية. أشكال مختلفة من الانحدار غير الخطية متوفرة في تسدين بما في ذلك المضافة أر، والشبكات العصبية، سيتار و لستار نماذج، عتبة فار و فيسم. كما يتم توفير الانتكاس الذاتي للشبكة العصبية في غمد. بنتكابليار تنفذ الانحناء الذاتي بين كابل. يوفر بيستار تحليل بايزي لنماذج الانحدار الذاتي عتبة. تسيريشاوس يوفر تنفيذ R من الخوارزميات من مشروع تيسان. يتم توفير نماذج التبديل ماركوف التحول التلقائي في وزارة الصحة العامة. في حين يتم إعطاء مخاليط تعتمد من نماذج ماركوف الكامنة في ديبميكس و depmixS4 لسلاسل زمنية فئوية ومستمرة. الاختبارات. يتم تقديم اختبارات مختلفة عن اللاخطية في فنلينلينير. اختبارات تسريسنتروبي للاعتماد التسلسلي غير الخطية على أساس مقاييس الإنتروبيا. وظائف إضافية للسلاسل الزمنية غير الخطية متوفرة في نلتس وغير الخطية. يتم توفير النمذجة كسورية سلسلة الوقت والتحليل بواسطة كسورية. فراكتالروك يولد سلسلة زمنية كسورية مع توزيعات العائدات غير العادية. نماذج الانحدار الديناميكي النماذج الخطية الديناميكية. واجهة مريحة لتركيب نماذج الانحدار الديناميكي عبر عملية شريان الحياة للسودان هو متاح في دينلم نهجا معززا الذي يعمل أيضا مع وظائف الانحدار الأخرى ويتم تنفيذ المزيد من الطبقات سلسلة زمنية في دين. يمكن تركيب معادلات نظام ديناميكي أكثر تقدما باستخدام دس. يمكن تركيب نماذج الفضاء الخطي الدولة غاوس باستخدام دلم (عن طريق الاحتمال الأقصى، كلمان الترشيحالتسوية وطرق بايزي)، أو باستخدام بستس الذي يستخدم مسمك. وتقدم وظائف النمذجة غير الخطية الموزعة في دلنم. ويمكن تركيب نماذج معلمات متغيرة زمنيا باستخدام حزمة تبر. أوسيدلاسو يناسب نموذج خطي متفرق مع قيود النظام على المعاملات من أجل التعامل مع ريجريسورس متخلفة حيث تسوس المعاملات كما يزيد من تأخر. النمذجة الديناميكية من أنواع مختلفة متاحة في دينر بما في ذلك الوقت المنفصل والمستمر، والنماذج الخطية وغير الخطية، وأنواع مختلفة من المتغيرات الكامنة. نماذج المتسلسلة الزمنية متعددة المتغيرات يتم توفير نماذج الانحدار الذاتي المتجه (فار) عبر أر () في حزمة الإحصائيات الأساسية بما في ذلك اختيار النظام عبر إيك. وتقتصر هذه النماذج على أن تكون ثابتة. متس هو مجموعة أدوات متعددة الأغراض لتحليل سلاسل زمنية متعددة المتغيرات بما في ذلك فار، فارما، فارما الموسمية، نماذج فار مع المتغيرات الخارجية، الانحدار متعدد المتغيرات مع أخطاء سلسلة زمنية، وأكثر من ذلك بكثير. وربما يتم تركيب نماذج فار غير الثابتة في حزمة مار، والتي تسمح أيضا نماذج فار في الفضاء المكون الرئيسي. سبارسيفار يسمح تقدير متفرق فار و فيسم النماذج، يوفر إسم وظائف لبناء نماذج فيسم، في حين تقدر بيغفار فار و فاركس نماذج مع عقوبات لاسو منظم. تتوفر نماذج وشبكات فار الآلية في أوتوفاركور. وتقدم نماذج أكثر تفصيلا في حزمة فارس. tsDyn. إستفركسلس () في دس. وهناك نهج بايزي متاح في مسبار. ويرد تنفيذ آخر مع فترات التنبؤ بوتسترابد في VAR. etp. يوفر ملفار متعددة المستويات ناقلات الانتكاس الذاتي. يوفر فارسيغنر الروتينية لتحديد الصدمات الهيكلية في نماذج فار باستخدام قيود علامة. غك تنفذ المكونات الرئيسية الديناميكية المعممة. ويدبكا يمتد المكونات الرئيسية الديناميكية لربط دوري المتغيرات متعددة المتسلسلة دوري. يتم توفير نماذج فريما ونماذج الفضاء الدولة في حزمة دس. إيفاليست يسهل تجارب مونت كارلو لتقييم أساليب التقدير المرتبطة بها. تتوفر نماذج تصحيح أخطاء المتجهات عبر أوركا. فارس و تسدين الحزم، بما في ذلك الإصدارات مع القيود الهيكلية والعتبة. تحليل سلسلة السلاسل الزمنية. يتم توفير تحليل عامل السلاسل الزمنية في تسفا. فوريكا تنفذ تحليل مكون فوريكاتابل من خلال البحث عن أفضل التحولات الخطية التي تجعل سلسلة زمنية متعددة المتغيرات كما يمكن التنبؤ بها قدر الإمكان. يكتشف PCA4TS تحويلا خطيا لسلسلة زمنية متعددة المتغيرات تعطي سوبزيريز ذات أبعاد أقل غير مترابطة مع بعضها البعض. يتم تنفيذ نماذج الفضاء الدولة متعددة المتغيرات في حزمة فكف (فاست كالمان فيلتر). ويوفر ذلك نماذج فضاء دولة مرنة نسبيا عن طريق الدالة فكف (): يسمح بمعلمات الحالة - فضاء أن تكون متغيرة للوقت وتدرج الاعتراضات في المعادلتين. يتم تنفيذ بديل من قبل مجموعة مؤسسة الكويت للتقدم العلمي التي توفر فلتر كلمان سريع متعدد المتغيرات، وسلاسة، والمحاكاة أكثر سلاسة والتنبؤ. بعد تنفيذ آخر هو في حزمة دلم الذي يحتوي أيضا على أدوات لتحويل نماذج متعددة المتغيرات الأخرى في شكل مساحة الدولة. يوفر دلموديلر واجهة موحدة ل دلم. مؤسسة الكويت للتقدم العلمي و مؤسسة التمويل الكويتي. تتناسب مارس مع نماذج فضاءات الانحدار الذاتي متعددة المتغيرات غير المقيدة وغير المقيدة باستخدام خوارزمية إم. وتفترض جميع هذه الحزم أن أخطاء الخطأ في الرصد والولاية غير مترابطة. عمليات ماركوف التي تمت ملاحظتها جزئيا هي تعميم نماذج الفضاء الخطية متعددة المتغيرات المعتادة، مما يسمح بنماذج غير غوسية وغير خطية. يتم تنفيذ هذه في حزمة بومب. يتم توفير نماذج تقلب عشوائية عشوائية متعددة المتغيرات (باستخدام عوامل كامنة) بواسطة فاكتورستوكفول. تحلیل المجموعات الکبیرة من السلاسل الزمنیة یتم تنفیذ تسلسل السلاسل الزمنیة في تسكلوست. dtwclust. بنبتسكلوست و بك. يوفر تسديست تدابير المسافة للبيانات سلسلة الوقت. يقوم جموتيف بتنفيذ الأدوات على أساس التسلسل الزمني رمزية ديسكريتيزاتيون لإيجاد الزخارف في السلاسل الزمنية ويسهل تفسير سلسلة زمنية التسلسل. يوفر روكرتو R الارتباطات للوظائف من جناح أور لتمكين فائق السرعة بحث عن أفضل مباراة تحت الوقت الديناميكي واربينغ و الإقليدية المسافة. يتم توفير طرق للتآمر والتنبؤ مجموعات من التسلسل الزمني الهرمي والمجموعات الزمنية من قبل هتس. يستخدم اللص أساليب هرمية للتوفيق بين التنبؤات الزمنية للمسلسلات الزمنية المجمعة. يتم توفير نهج بديل للتوفيق بين التنبؤات التسلسل الزمني الهرمي من قبل غتوب. اللص نماذج الوقت المستمر يتم توفير النمذجة الانحدار الذاتي المستمر الوقت في كتس. Sim. DiffProc يحاكي ونماذج المعادلات التفاضلية العشوائية. يتم توفير المحاكاة والاستدلال للمعادلات التفاضلية العشوائية من قبل سدي ويويما. بوتسترابينغ. حزمة التمهيد يوفر وظيفة تبوت () ل بوتسترابينغ سلسلة الوقت، بما في ذلك التمهيد بوتل مع عدة متغيرات. تبوتستراب () من تسريز يوفر ثابتة ثابتة و بوتسترابينغ كتلة. الحد الأقصى التمهيد التمهيد الكهربية لسلسلة زمنية متاح في ميبوت. تيمسبوت يحسب سي بوتستراب لعينة أسف و بيريودوغرام. بوتبير يحسب التنبؤ الانحياز التحيز وفترات التنبؤ بوستراب للتسلسل الزمني الانحدار الزمني. بيانات من ماكريداكيس، ويلوريت وهيندمان (1998) التنبؤ: يتم تقديم الأساليب والتطبيقات في حزمة فما. البيانات من هيندمان، كوهلر، أورد و سنايدر (2008) التنبؤ مع تمهيد الأسي في حزمة إكسسموث. بيانات من هيندمان وأثاناسوبولوس (2013) التنبؤ: المبادئ والممارسة هي في حزمة فب. وتقدم البيانات من المنافسة M والمنافسة M3 في حزمة مكومب. وترد البيانات من مسابقة M4 في M4comp. في حين توفر شركة تكومب بيانات من مسابقة التنبؤ السياحي للسياحة لعام 2010. يوفر بدفيتش مرافق لتحميل السلاسل الزمنية الاقتصادية والمالية من المصادر العامة. البيانات من بوابة كواندل على الانترنت لمجموعات البيانات المالية والاقتصادية والاجتماعية يمكن الاستعلام بشكل تفاعلي باستخدام حزمة كواندل. البيانات من بوابة داتاماركيت على الانترنت يمكن جلبها باستخدام حزمة رداتاماركيت. يوفر بيتس الوصول إلى أهم سلسلة زمنية اقتصادية في البرازيل. البيانات من كراير وتشان (2010) في حزمة تسا. البيانات من شومواي وستوفر (2011) هي في حزمة أستسا. البيانات من تساي (2005) تحليل سلسلة زمنية مالية في حزمة فينتس، جنبا إلى جنب مع بعض الوظائف وملفات النصي المطلوبة للعمل بعض الأمثلة. تسوج يرافق النص تطبيق تحليل سلسلة الوقت مع R. الطبعة الثانية من وودوارد، الرمادي، إليوت. يوفر تسدبي واجهة مشتركة لقواعد البيانات سلسلة الوقت. يوفر واجهة ل فام سلسلة زمنية قواعد البيانات إر و إكدات على حد سواء تحتوي على العديد من مجموعات البيانات (بما في ذلك البيانات سلسلة زمنية) من العديد من الكتب الاقتصادية الاقتصاد القياسي دتو. خوارزميات تزييف الوقت الديناميكي للحوسبة والتآمر محاذاة الزوجية بين السلاسل الزمنية. ensembleBMA. نموذج بايزي المتوسط ​​لخلق توقعات احتمالية من تنبؤات الفرقة ورصدات الطقس. earlywarnings. تشير الإنذارات المبكرة إلى أدوات للكشف عن التحولات الحرجة في أحداث السلاسل الزمنية. تحويل بيانات الحدث المستخرجة من الآلة إلى سلاسل زمنية مجمعة متعددة المتغيرات. FeedbackTS. تحليل الاتجاه الزمني مجزأة للتحقيق في ردود الفعل في السلاسل الزمنية. وتهدف لبتيمسيريز للعثور على نمط كوتليارند ساليديتيكيوت لسلسلة زمنية. يوفر MAR1 أدوات لإعداد بيانات السلاسل الزمنية للمجتمع البيئي للنمذجة أر متعددة المتغيرات. شبكات. الروتينية لتقدير شبكات الترابط الجزئي الطويلة المدى المتفرقة لبيانات السلاسل الزمنية. paleoTS. نمذجة التطور في سلسلة الوقت الحفريات. pastecs. التنظيم والتحليل وتحليل السلاسل الزمنية. PTW. الوقت حدودي تزييفها. يوفر رينيرات أدوات لتوليد سلسلة ناقلات الوقت. يتم تعيين رماوجين من S3 و S4 وظائف لتوليد العشوائي المكاني متعدد المواقع من سلسلة زمنية اليومية من درجة الحرارة وهطول الأمطار مما يجعل من استخدام نماذج فار. ويمكن استخدام الحزمة في علم المناخ والهيدرولوجيا الإحصائية. RSEIS. الزلزالية أدوات تحليل السلاسل الزمنية. المحطة المذكورة. تحليل سلسلة الوقت النقطية (مثل السلاسل الزمنية للصور الساتلية). sae2. نماذج السلاسل الزمنية لتقدير المساحة الصغيرة. spTimer. النمذجة البيزنطية الزمانية المكانية. مراقبة. النمذجة الزمنية والزمانية المكانية ورصد الظواهر الوبائية. TED. الاضطرابات الوقت سلسلة الكشف عن الحدث والتصنيف. المد والجزر. وظائف لحساب خصائص السلاسل الزمنية شبه الدورية، على سبيل المثال. لاحظ مستويات المياه مصبات الأنهار. نمر. يتم تحديد المجموعات التي تم حلها زمنيا من الاختلافات النموذجية (الأخطاء) بين سلسلتين زمنيتين وتصور. TSMining. التعدين أحادي المتغير والزخارف متعددة المتغيرات في سلسلة زمنية البيانات. tsModel. نماذج السلاسل الزمنية لتلوث الهواء والصحة. حزم كران: روابط ذات صلة: استخدام R لتحليل السلاسل الزمنية تحليل السلاسل الزمنية يشرح لك هذا الكتيب كيفية استخدام البرنامج الإحصائي R لتنفيذ بعض التحليلات البسيطة الشائعة في تحليل بيانات السلاسل الزمنية. يفترض هذا الكتيب أن القارئ لديه بعض المعرفة الأساسية لتحليل السلاسل الزمنية، والتركيز الرئيسي للكتيب ليس لشرح تحليل السلاسل الزمنية، وإنما شرح كيفية إجراء هذه التحليلات باستخدام R. إذا كنت جديدا على سلسلة زمنية تحليل، وتريد معرفة المزيد عن أي من المفاهيم المقدمة هنا، أود أن أوصي كتاب جامعة مفتوحة 8220Time Series8221 (رمز المنتج M24902)، وهي متاحة من متجر جامعة المفتوحة. في هذا الكتيب، سوف أستخدم مجموعات بيانات السلاسل الزمنية التي تم توفيرها من قبل روب هيندمان في مكتبة بيانات سلسلة الوقت الخاصة به في روبجيندمانتسدل. إذا کنت تحب ھذا الکتیب، قد ترغب أیضا في الاطلاع علی کتیبي حول استخدام R للإحصاءات الطبیة الحیویة، a-little-book-of-r-for-biomedical-statistics. readthedocs. org. وكتيب بلدي حول استخدام R للتحليل متعدد المتغيرات، قليلا-كتاب - أوف-r-for-multivariate-analysis. readthedocs. org. قراءة البيانات سلسلة الوقت أول شيء سوف تريد القيام به لتحليل البيانات سلسلة الوقت الخاص بك وسوف يكون لقراءتها في R، ومؤامرة سلسلة زمنية. يمكنك قراءة البيانات إلى R باستخدام وظيفة المسح الضوئي ()، والتي تفترض أن بياناتك لنقاط زمنية متعاقبة موجودة في ملف نص بسيط يحتوي على عمود واحد. على سبيل المثال، يحتوي ملف robjhyndmantsdldatamisckings. dat على بيانات عن عمر وفاة الملوك المتعاقبين لإنجلترا، بدءا من وليام الفاتح (المصدر الأصلي: هيبل و مكليود، 1994). تبدو مجموعة البيانات كما يلي: تم عرض الأسطر القليلة الأولى فقط من الملف. الأسطر الثلاثة الأولى تحتوي على بعض التعليقات على البيانات، ونحن نريد أن نتجاهل هذا عندما نقرأ البيانات إلى R. يمكننا استخدام هذا باستخدام المعلمة 8220skip8221 للدالة المسح الضوئي ()، الذي يحدد عدد الخطوط في الجزء العلوي من ملف لتجاهل. لقراءة الملف في R، تجاهل الخطوط الثلاثة الأولى، ونحن نكتب: في هذه الحالة سن الموت من 42 ملوك المتعاقبة انكلترا قد قرأ في المتغير 8216kings8217. بمجرد قراءة بيانات سلسلة الوقت إلى R، الخطوة التالية هي تخزين البيانات في كائن سلسلة زمنية في R، بحيث يمكنك استخدام R8217s العديد من الوظائف لتحليل بيانات سلسلة الوقت. لتخزين البيانات في كائن تسلسل زمني، نستخدم الدالة تيسي () في R. على سبيل المثال، لتخزين البيانات في المتغير 8216kings8217 ككائن سلسلة زمنية في R، نكتب: أحيانا مجموعة بيانات سلسلة الوقت التي قد تكون قد جمعت على فترات منتظمة كانت أقل من سنة، على سبيل المثال، شهرية أو ربع سنوية. في هذه الحالة، يمكنك تحديد عدد المرات التي تم جمع البيانات فيها سنويا باستخدام المعلمة 8216frequency8217 في الدالة تيسي (). للحصول على بيانات سلسلة زمنية شهرية، يمكنك تعيين التردد 12، بينما لبيانات سلسلة زمنية ربع سنوية، يمكنك تعيين التردد 4. You can also specify the first year that the data was collected, and the first interval in that year by using the 8216start8217 parameter in the ts() function. For example, if the first data point corresponds to the second quarter of 1986, you would set startc(1986,2). An example is a data set of the number of births per month in New York city, from January 1946 to December 1959 (originally collected by Newton). This data is available in the file robjhyndmantsdldatadatanybirths. dat We can read the data into R, and store it as a time series object, by typing: Similarly, the file robjhyndmantsdldatadatafancy. dat contains monthly sales for a souvenir shop at a beach resort town in Queensland, Australia, for January 1987-December 1993 (original data from Wheelwright and Hyndman, 1998). We can read the data into R by typing: Plotting Time Series Once you have read a time series into R, the next step is usually to make a plot of the time series data, which you can do with the plot. ts() function in R. For example, to plot the time series of the age of death of 42 successive kings of England, we type: We can see from the time plot that this time series could probably be described using an additive model, since the random fluctuations in the data are roughly constant in size over time. Likewise, to plot the time series of the number of births per month in New York city, we type: We can see from this time series that there seems to be seasonal variation in the number of births per month: there is a peak every summer, and a trough every winter. Again, it seems that this time series could probably be described using an additive model, as the seasonal fluctuations are roughly constant in size over time and do not seem to depend on the level of the time series, and the random fluctuations also seem to be roughly constant in size over time. Similarly, to plot the time series of the monthly sales for the souvenir shop at a beach resort town in Queensland, Australia, we type: In this case, it appears that an additive model is not appropriate for describing this time series, since the size of the seasonal fluctuations and random fluctuations seem to increase with the level of the time series. Thus, we may need to transform the time series in order to get a transformed time series that can be described using an additive model. For example, we can transform the time series by calculating the natural log of the original data: Here we can see that the size of the seasonal fluctuations and random fluctuations in the log-transformed time series seem to be roughly constant over time, and do not depend on the level of the time series. Thus, the log-transformed time series can probably be described using an additive model. Decomposing Time Series Decomposing a time series means separating it into its constituent components, which are usually a trend component and an irregular component, and if it is a seasonal time series, a seasonal component. Decomposing Non-Seasonal Data A non-seasonal time series consists of a trend component and an irregular component. Decomposing the time series involves trying to separate the time series into these components, that is, estimating the the trend component and the irregular component. To estimate the trend component of a non-seasonal time series that can be described using an additive model, it is common to use a smoothing method, such as calculating the simple moving average of the time series. The SMA() function in the 8220TTR8221 R package can be used to smooth time series data using a simple moving average. To use this function, we first need to install the 8220TTR8221 R package (for instructions on how to install an R package, see How to install an R package ). Once you have installed the 8220TTR8221 R package, you can load the 8220TTR8221 R package by typing: You can then use the 8220SMA()8221 function to smooth time series data. To use the SMA() function, you need to specify the order (span) of the simple moving average, using the parameter 8220n8221. For example, to calculate a simple moving average of order 5, we set n5 in the SMA() function. For example, as discussed above, the time series of the age of death of 42 successive kings of England appears is non-seasonal, and can probably be described using an additive model, since the random fluctuations in the data are roughly constant in size over time: Thus, we can try to estimate the trend component of this time series by smoothing using a simple moving average. To smooth the time series using a simple moving average of order 3, and plot the smoothed time series data, we type: There still appears to be quite a lot of random fluctuations in the time series smoothed using a simple moving average of order 3. Thus, to estimate the trend component more accurately, we might want to try smoothing the data with a simple moving average of a higher order. This takes a little bit of trial-and-error, to find the right amount of smoothing. For example, we can try using a simple moving average of order 8: The data smoothed with a simple moving average of order 8 gives a clearer picture of the trend component, and we can see that the age of death of the English kings seems to have decreased from about 55 years old to about 38 years old during the reign of the first 20 kings, and then increased after that to about 73 years old by the end of the reign of the 40th king in the time series. Decomposing Seasonal Data A seasonal time series consists of a trend component, a seasonal component and an irregular component. Decomposing the time series means separating the time series into these three components: that is, estimating these three components. To estimate the trend component and seasonal component of a seasonal time series that can be described using an additive model, we can use the 8220decompose()8221 function in R. This function estimates the trend, seasonal, and irregular components of a time series that can be described using an additive model. The function 8220decompose()8221 returns a list object as its result, where the estimates of the seasonal component, trend component and irregular component are stored in named elements of that list objects, called 8220seasonal8221, 8220trend8221, and 8220random8221 respectively. For example, as discussed above, the time series of the number of births per month in New York city is seasonal with a peak every summer and trough every winter, and can probably be described using an additive model since the seasonal and random fluctuations seem to be roughly constant in size over time: To estimate the trend, seasonal and irregular components of this time series, we type: The estimated values of the seasonal, trend and irregular components are now stored in variables birthstimeseriescomponentsseasonal, birthstimeseriescomponentstrend and birthstimeseriescomponentsrandom. For example, we can print out the estimated values of the seasonal component by typing: The estimated seasonal factors are given for the months January-December, and are the same for each year. The largest seasonal factor is for July (about 1.46), and the lowest is for February (about -2.08), indicating that there seems to be a peak in births in July and a trough in births in February each year. We can plot the estimated trend, seasonal, and irregular components of the time series by using the 8220plot()8221 function, for example: The plot above shows the original time series (top), the estimated trend component (second from top), the estimated seasonal component (third from top), and the estimated irregular component (bottom). We see that the estimated trend component shows a small decrease from about 24 in 1947 to about 22 in 1948, followed by a steady increase from then on to about 27 in 1959. Seasonally Adjusting If you have a seasonal time series that can be described using an additive model, you can seasonally adjust the time series by estimating the seasonal component, and subtracting the estimated seasonal component from the original time series. We can do this using the estimate of the seasonal component calculated by the 8220decompose()8221 function. For example, to seasonally adjust the time series of the number of births per month in New York city, we can estimate the seasonal component using 8220decompose()8221, and then subtract the seasonal component from the original time series: We can then plot the seasonally adjusted time series using the 8220plot()8221 function, by typing: You can see that the seasonal variation has been removed from the seasonally adjusted time series. The seasonally adjusted time series now just contains the trend component and an irregular component. Forecasts using Exponential Smoothing Exponential smoothing can be used to make short-term forecasts for time series data. Simple Exponential Smoothing If you have a time series that can be described using an additive model with constant level and no seasonality, you can use simple exponential smoothing to make short-term forecasts. The simple exponential smoothing method provides a way of estimating the level at the current time point. Smoothing is controlled by the parameter alpha for the estimate of the level at the current time point. The value of alpha lies between 0 and 1. Values of alpha that are close to 0 mean that little weight is placed on the most recent observations when making forecasts of future values. For example, the file robjhyndmantsdldatahurstprecip1.dat contains total annual rainfall in inches for London, from 1813-1912 (original data from Hipel and McLeod, 1994). We can read the data into R and plot it by typing: You can see from the plot that there is roughly constant level (the mean stays constant at about 25 inches). The random fluctuations in the time series seem to be roughly constant in size over time, so it is probably appropriate to describe the data using an additive model. Thus, we can make forecasts using simple exponential smoothing. To make forecasts using simple exponential smoothing in R, we can fit a simple exponential smoothing predictive model using the 8220HoltWinters()8221 function in R. To use HoltWinters() for simple exponential smoothing, we need to set the parameters betaFALSE and gammaFALSE in the HoltWinters() function (the beta and gamma parameters are used for Holt8217s exponential smoothing, or Holt-Winters exponential smoothing, as described below). The HoltWinters() function returns a list variable, that contains several named elements. For example, to use simple exponential smoothing to make forecasts for the time series of annual rainfall in London, we type: The output of HoltWinters() tells us that the estimated value of the alpha parameter is about 0.024. This is very close to zero, telling us that the forecasts are based on both recent and less recent observations (although somewhat more weight is placed on recent observations). By default, HoltWinters() just makes forecasts for the same time period covered by our original time series. In this case, our original time series included rainfall for London from 1813-1912, so the forecasts are also for 1813-1912. In the example above, we have stored the output of the HoltWinters() function in the list variable 8220rainseriesforecasts8221. The forecasts made by HoltWinters() are stored in a named element of this list variable called 8220fitted8221, so we can get their values by typing: We can plot the original time series against the forecasts by typing: The plot shows the original time series in black, and the forecasts as a red line. The time series of forecasts is much smoother than the time series of the original data here. As a measure of the accuracy of the forecasts, we can calculate the sum of squared errors for the in-sample forecast errors, that is, the forecast errors for the time period covered by our original time series. The sum-of-squared-errors is stored in a named element of the list variable 8220rainseriesforecasts8221 called 8220SSE8221, so we can get its value by typing: That is, here the sum-of-squared-errors is 1828.855. It is common in simple exponential smoothing to use the first value in the time series as the initial value for the level. For example, in the time series for rainfall in London, the first value is 23.56 (inches) for rainfall in 1813. You can specify the initial value for the level in the HoltWinters() function by using the 8220l. start8221 parameter. For example, to make forecasts with the initial value of the level set to 23.56, we type: As explained above, by default HoltWinters() just makes forecasts for the time period covered by the original data, which is 1813-1912 for the rainfall time series. We can make forecasts for further time points by using the 8220forecast. HoltWinters()8221 function in the R 8220forecast8221 package. To use the forecast. HoltWinters() function, we first need to install the 8220forecast8221 R package (for instructions on how to install an R package, see How to install an R package ). Once you have installed the 8220forecast8221 R package, you can load the 8220forecast8221 R package by typing: When using the forecast. HoltWinters() function, as its first argument (input), you pass it the predictive model that you have already fitted using the HoltWinters() function. For example, in the case of the rainfall time series, we stored the predictive model made using HoltWinters() in the variable 8220rainseriesforecasts8221. You specify how many further time points you want to make forecasts for by using the 8220h8221 parameter in forecast. HoltWinters(). For example, to make a forecast of rainfall for the years 1814-1820 (8 more years) using forecast. HoltWinters(), we type: The forecast. HoltWinters() function gives you the forecast for a year, a 80 prediction interval for the forecast, and a 95 prediction interval for the forecast. For example, the forecasted rainfall for 1920 is about 24.68 inches, with a 95 prediction interval of (16.24, 33.11). To plot the predictions made by forecast. HoltWinters(), we can use the 8220plot. forecast()8221 function: Here the forecasts for 1913-1920 are plotted as a blue line, the 80 prediction interval as an orange shaded area, and the 95 prediction interval as a yellow shaded area. The 8216forecast errors8217 are calculated as the observed values minus predicted values, for each time point. We can only calculate the forecast errors for the time period covered by our original time series, which is 1813-1912 for the rainfall data. As mentioned above, one measure of the accuracy of the predictive model is the sum-of-squared-errors (SSE) for the in-sample forecast errors. The in-sample forecast errors are stored in the named element 8220residuals8221 of the list variable returned by forecast. HoltWinters(). If the predictive model cannot be improved upon, there should be no correlations between forecast errors for successive predictions. In other words, if there are correlations between forecast errors for successive predictions, it is likely that the simple exponential smoothing forecasts could be improved upon by another forecasting technique. To figure out whether this is the case, we can obtain a correlogram of the in-sample forecast errors for lags 1-20. We can calculate a correlogram of the forecast errors using the 8220acf()8221 function in R. To specify the maximum lag that we want to look at, we use the 8220lag. max8221 parameter in acf(). For example, to calculate a correlogram of the in-sample forecast errors for the London rainfall data for lags 1-20, we type: You can see from the sample correlogram that the autocorrelation at lag 3 is just touching the significance bounds. To test whether there is significant evidence for non-zero correlations at lags 1-20, we can carry out a Ljung-Box test. This can be done in R using the 8220Box. test()8221, function. The maximum lag that we want to look at is specified using the 8220lag8221 parameter in the Box. test() function. For example, to test whether there are non-zero autocorrelations at lags 1-20, for the in-sample forecast errors for London rainfall data, we type: Here the Ljung-Box test statistic is 17.4, and the p-value is 0.6, so there is little evidence of non-zero autocorrelations in the in-sample forecast errors at lags 1-20. To be sure that the predictive model cannot be improved upon, it is also a good idea to check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. To check whether the forecast errors have constant variance, we can make a time plot of the in-sample forecast errors: The plot shows that the in-sample forecast errors seem to have roughly constant variance over time, although the size of the fluctuations in the start of the time series (1820-1830) may be slightly less than that at later dates (eg. 1840-1850). To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero, we can plot a histogram of the forecast errors, with an overlaid normal curve that has mean zero and the same standard deviation as the distribution of forecast errors. To do this, we can define an R function 8220plotForecastErrors()8221, below: You will have to copy the function above into R in order to use it. You can then use plotForecastErrors() to plot a histogram (with overlaid normal curve) of the forecast errors for the rainfall predictions: The plot shows that the distribution of forecast errors is roughly centred on zero, and is more or less normally distributed, although it seems to be slightly skewed to the right compared to a normal curve. However, the right skew is relatively small, and so it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero. The Ljung-Box test showed that there is little evidence of non-zero autocorrelations in the in-sample forecast errors, and the distribution of forecast errors seems to be normally distributed with mean zero. This suggests that the simple exponential smoothing method provides an adequate predictive model for London rainfall, which probably cannot be improved upon. Furthermore, the assumptions that the 80 and 95 predictions intervals were based upon (that there are no autocorrelations in the forecast errors, and the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance) are probably valid. Holt8217s Exponential Smoothing If you have a time series that can be described using an additive model with increasing or decreasing trend and no seasonality, you can use Holt8217s exponential smoothing to make short-term forecasts. Holt8217s exponential smoothing estimates the level and slope at the current time point. Smoothing is controlled by two parameters, alpha, for the estimate of the level at the current time point, and beta for the estimate of the slope b of the trend component at the current time point. As with simple exponential smoothing, the paramters alpha and beta have values between 0 and 1, and values that are close to 0 mean that little weight is placed on the most recent observations when making forecasts of future values. An example of a time series that can probably be described using an additive model with a trend and no seasonality is the time series of the annual diameter of women8217s skirts at the hem, from 1866 to 1911. The data is available in the file robjhyndmantsdldatarobertsskirts. dat (original data from Hipel and McLeod, 1994). We can read in and plot the data in R by typing: We can see from the plot that there was an increase in hem diameter from about 600 in 1866 to about 1050 in 1880, and that afterwards the hem diameter decreased to about 520 in 1911. To make forecasts, we can fit a predictive model using the HoltWinters() function in R. To use HoltWinters() for Holt8217s exponential smoothing, we need to set the parameter gammaFALSE (the gamma parameter is used for Holt-Winters exponential smoothing, as described below). For example, to use Holt8217s exponential smoothing to fit a predictive model for skirt hem diameter, we type: The estimated value of alpha is 0.84, and of beta is 1.00. These are both high, telling us that both the estimate of the current value of the level, and of the slope b of the trend component, are based mostly upon very recent observations in the time series. This makes good intuitive sense, since the level and the slope of the time series both change quite a lot over time. The value of the sum-of-squared-errors for the in-sample forecast errors is 16954. We can plot the original time series as a black line, with the forecasted values as a red line on top of that, by typing: We can see from the picture that the in-sample forecasts agree pretty well with the observed values, although they tend to lag behind the observed values a little bit. If you wish, you can specify the initial values of the level and the slope b of the trend component by using the 8220l. start8221 and 8220b. start8221 arguments for the HoltWinters() function. It is common to set the initial value of the level to the first value in the time series (608 for the skirts data), and the initial value of the slope to the second value minus the first value (9 for the skirts data). For example, to fit a predictive model to the skirt hem data using Holt8217s exponential smoothing, with initial values of 608 for the level and 9 for the slope b of the trend component, we type: As for simple exponential smoothing, we can make forecasts for future times not covered by the original time series by using the forecast. HoltWinters() function in the 8220forecast8221 package. For example, our time series data for skirt hems was for 1866 to 1911, so we can make predictions for 1912 to 1930 (19 more data points), and plot them, by typing: The forecasts are shown as a blue line, with the 80 prediction intervals as an orange shaded area, and the 95 prediction intervals as a yellow shaded area. As for simple exponential smoothing, we can check whether the predictive model could be improved upon by checking whether the in-sample forecast errors show non-zero autocorrelations at lags 1-20. For example, for the skirt hem data, we can make a correlogram, and carry out the Ljung-Box test, by typing: Here the correlogram shows that the sample autocorrelation for the in-sample forecast errors at lag 5 exceeds the significance bounds. However, we would expect one in 20 of the autocorrelations for the first twenty lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. Indeed, when we carry out the Ljung-Box test, the p-value is 0.47, indicating that there is little evidence of non-zero autocorrelations in the in-sample forecast errors at lags 1-20. As for simple exponential smoothing, we should also check that the forecast errors have constant variance over time, and are normally distributed with mean zero. We can do this by making a time plot of forecast errors, and a histogram of the distribution of forecast errors with an overlaid normal curve: The time plot of forecast errors shows that the forecast errors have roughly constant variance over time. The histogram of forecast errors show that it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Thus, the Ljung-Box test shows that there is little evidence of autocorrelations in the forecast errors, while the time plot and histogram of forecast errors show that it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Therefore, we can conclude that Holt8217s exponential smoothing provides an adequate predictive model for skirt hem diameters, which probably cannot be improved upon. In addition, it means that the assumptions that the 80 and 95 predictions intervals were based upon are probably valid. Holt-Winters Exponential Smoothing If you have a time series that can be described using an additive model with increasing or decreasing trend and seasonality, you can use Holt-Winters exponential smoothing to make short-term forecasts. Holt-Winters exponential smoothing estimates the level, slope and seasonal component at the current time point. Smoothing is controlled by three parameters: alpha, beta, and gamma, for the estimates of the level, slope b of the trend component, and the seasonal component, respectively, at the current time point. The parameters alpha, beta and gamma all have values between 0 and 1, and values that are close to 0 mean that relatively little weight is placed on the most recent observations when making forecasts of future values. An example of a time series that can probably be described using an additive model with a trend and seasonality is the time series of the log of monthly sales for the souvenir shop at a beach resort town in Queensland, Australia (discussed above): To make forecasts, we can fit a predictive model using the HoltWinters() function. For example, to fit a predictive model for the log of the monthly sales in the souvenir shop, we type: The estimated values of alpha, beta and gamma are 0.41, 0.00, and 0.96, respectively. The value of alpha (0.41) is relatively low, indicating that the estimate of the level at the current time point is based upon both recent observations and some observations in the more distant past. The value of beta is 0.00, indicating that the estimate of the slope b of the trend component is not updated over the time series, and instead is set equal to its initial value. This makes good intuitive sense, as the level changes quite a bit over the time series, but the slope b of the trend component remains roughly the same. In contrast, the value of gamma (0.96) is high, indicating that the estimate of the seasonal component at the current time point is just based upon very recent observations. As for simple exponential smoothing and Holt8217s exponential smoothing, we can plot the original time series as a black line, with the forecasted values as a red line on top of that: We see from the plot that the Holt-Winters exponential method is very successful in predicting the seasonal peaks, which occur roughly in November every year. To make forecasts for future times not included in the original time series, we use the 8220forecast. HoltWinters()8221 function in the 8220forecast8221 package. For example, the original data for the souvenir sales is from January 1987 to December 1993. If we wanted to make forecasts for January 1994 to December 1998 (48 more months), and plot the forecasts, we would type: The forecasts are shown as a blue line, and the orange and yellow shaded areas show 80 and 95 prediction intervals, respectively. We can investigate whether the predictive model can be improved upon by checking whether the in-sample forecast errors show non-zero autocorrelations at lags 1-20, by making a correlogram and carrying out the Ljung-Box test: The correlogram shows that the autocorrelations for the in-sample forecast errors do not exceed the significance bounds for lags 1-20. Furthermore, the p-value for Ljung-Box test is 0.6, indicating that there is little evidence of non-zero autocorrelations at lags 1-20. We can check whether the forecast errors have constant variance over time, and are normally distributed with mean zero, by making a time plot of the forecast errors and a histogram (with overlaid normal curve): From the time plot, it appears plausible that the forecast errors have constant variance over time. From the histogram of forecast errors, it seems plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero. Thus, there is little evidence of autocorrelation at lags 1-20 for the forecast errors, and the forecast errors appear to be normally distributed with mean zero and constant variance over time. This suggests that Holt-Winters exponential smoothing provides an adequate predictive model of the log of sales at the souvenir shop, which probably cannot be improved upon. Furthermore, the assumptions upon which the prediction intervals were based are probably valid. ARIMA Models Exponential smoothing methods are useful for making forecasts, and make no assumptions about the correlations between successive values of the time series. However, if you want to make prediction intervals for forecasts made using exponential smoothing methods, the prediction intervals require that the forecast errors are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account. Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autocorrelations in the irregular component. Differencing a Time Series ARIMA models are defined for stationary time series. Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to 8216difference8217 the time series until you obtain a stationary time series. If you have to difference the time series d times to obtain a stationary series, then you have an ARIMA(p, d,q) model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the 8220diff()8221 function in R. For example, the time series of the annual diameter of women8217s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time: We can difference the time series (which we stored in 8220skirtsseries8221, see above) once, and plot the differenced series, by typing: The resulting time series of first differences (above) does not appear to be stationary in mean. Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series: Formal tests for stationarity Formal tests for stationarity called 8220unit root tests8221 are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences (above) does appear to be stationary in mean and variance, as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance of the series appears roughly constant over time. Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA(p, d,q) model for your time series, where d is the order of differencing used. For example, for the time series of the diameter of women8217s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing (d) is 2. This means that you can use an ARIMA(p,2,q) model for your time series. The next step is to figure out the values of p and q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England (see above): From the time plot (above), we can see that the time series is not stationary in mean. To calculate the time series of first differences, and plot it, we type: The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA(p,1,q) model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England. By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component. We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d times, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA(p, d,q) model. To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stationary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions in R, respectively. To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set 8220plotFALSE8221 in the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type: We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 (-0.360) exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the 8220pacf()8221 function, by typing: The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag (lag 1: -0.360, lag 2: -0.335, lag 3:-0.321). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3. Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA (autoregressive moving average) models are possible for the time series of first differences: an ARMA(3,0) model, that is, an autoregressive model of order p3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(0,1) model, that is, a moving average model of order q1, since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the partial autocorrelogram tails off to zero an ARMA(p, q) model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero (although the correlogram probably tails off to zero too abruptly for this model to be appropriate) We use the principle of parsimony to decide which model is best: that is, we assum e that the model with the fewest parameters is best. The ARMA(3,0) model has 3 parameters, the ARMA(0,1) model has 1 parameter, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, the ARMA(0,1) model is taken as the best model. An ARMA(0,1) model is a moving average model of order 1, or MA(1) model. This model can be written as: Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where Xt is the stationary time series we are studying (the first differenced series of ages at death of English kings), mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA (moving average) model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut: the auto. arima() function The auto. arima() function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg. type 8220library(forecast)8221, then 8220auto. arima(kings)8221. The output says an appropriate model is ARIMA(0,1,1). Since an ARMA(0,1) model (with p0, q1) is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA(0,1,1) model (with p0, d1, q1, where d is the order of differencing required). Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere Let8217s take another example of selecting an appropriate ARIMA model. The file file robjhyndmantsdldataannualdvi. dat contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 (original data from Hipel and Mcleod, 1994). This is a measure of the impact of volcanic eruptions8217 release of dust and aerosols into the environment. We can read it into R and make a time plot by typing: From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time. Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series (the order of differencing required, d, is zero here). We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARIMA model to use: We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3. The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag (lag 1: 0.666, lag 2: 0.374, lag 3: 0.162). The autocorrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds (especially for lag 19), the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds (0.666), while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds (-0.126). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2. Since the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series: an ARMA(2,0) model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2 an ARMA(0,3) model, since the autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(p, q) mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero (although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate) Shortcut: the auto. arima() function Again, we can use auto. arima() to find an appropriate model, by typing 8220auto. arima(volcanodust)8221, which gives us ARIMA(1,0,2), which has 3 parameters. However, different criteria can be used to select a model (see auto. arima() help page). If we use the 8220bic8221 criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA(2,0,0), which is ARMA(2,0): 8220auto. arima(volcanodust, ic8221bic8221)8221. The ARMA(2,0) model has 2 parameters, the ARMA(0,3) model has 3 parameters, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA(2,0) model and ARMA(p, q) model are equally good candidate models. An ARMA(2,0) model is an autoregressive model of order 2, or AR(2) model. This model can be written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Xt is the stationary time series we are studying (the time series of volcanic dust veil index), mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR (autoregressive) model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA(2,0) model (with p2, q0) is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA(2,0,0) model can be used (with p2, d0, q0, where d is the order of differencing required). Similarly, if an ARMA(p, q) mixed model is used, where p and q are both greater than zero, than an ARIMA(p,0,q) model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model Once you have selected the best candidate ARIMA(p, d,q) model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA(p, d,q) model using the 8220arima()8221 function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, we discussed above that an ARIMA(0,1,1) model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England. You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the 8220order8221 argument of the 8220arima()8221 function in R. To fit an ARIMA(p, d,q) model to this time series (which we stored in the variable 8220kingstimeseries8221, see above), we type: As mentioned above, if we are fitting an ARIMA(0,1,1) model to our time series, it means we are fitting an an ARMA(0,1) model to the time series of first differences. An ARMA(0,1) model can be written Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where theta is a parameter to be estimated. From the output of the 8220arima()8221 R function (above), the estimated value of theta (given as 8216ma18217 in the R output) is -0.7218 in the case of the ARIMA(0,1,1) model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals You can specify the confidence level for prediction intervals in forecast. Arima() by using the 8220level8221 argument. For example, to get a 99.5 prediction interval, we would type 8220forecast. Arima(kingstimeseriesarima, h5, levelc(99.5))8221. We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the 8220forecast. Arima()8221 function in the 8220forecast8221 R package. For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type: The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings. The forecast. Arima() function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings (kings 43-47), as well as 80 and 95 prediction intervals for those predictions. The age of death of the 42nd English king was 56 years (the last observed value in our time series), and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67.8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA(0,1,1) model, by typing: As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast errors for our ARIMA(0,1,1) model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing: Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-value for the Ljung-Box test is 0.9, we can conclude that there is very little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20. To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram (with overlaid normal curve) of the forecast errors: The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time (though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series). The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero. Therefore, it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA(0,1,1) does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA(2,0,0) model. To fit an ARIMA(2,0,0) model to this time series, we can type: As mentioned above, an ARIMA(2,0,0) model can be written as: written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated. The output of the arima() function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0.7533 and -0.1268 here (given as ar1 and ar2 in the output of arima()). Now we have fitted the ARIMA(2,0,0) model, we can use the 8220forecast. ARIMA()8221 model to predict future values of the volcanic dust veil index. The original data includes the years 1500-1969. To make predictions for the years 1970-2000 (31 more years), we type: We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing: One worrying thing is that the model has predicted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima() and forecast. Arima() functions don8217t know that the variable can only take positive values. Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance. To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test: The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds. However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds. Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0.2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20. To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram: The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time. However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean. We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0.22: The histogram of forecast errors (above) shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve. Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance Thus, it is likely that our ARIMA(2,0,0) model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon Links and Further Reading Here are some links for further reading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the 8220Kickstarting R8221 website, cran. r-project. orgdoccontribLemon-kickstart . There is another nice (slightly more in-depth) tutorial to R available on the 8220Introduction to R8221 website, cran. r-project. orgdocmanualsR-intro. html . You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage . To learn about time series analysis, I would highly recommend the book 8220Time series8221 (product code M24902) by the Open University, available from the Open University Shop . There are two books available in the 8220Use R8221 series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. Acknowledgements I am grateful to Professor Rob Hyndman. for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library (TSDL) in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University book, 8220Time series8221 (product code M24902), available from the Open University Shop . Thank you to Ravi Aranke for bringing auto. arima() to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors(). Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me (Avril Coghlan) corrections or suggestions for improvements to my email address alc 64 sanger 46 ac 46 uk